Question

在三角形ABC中，a^2=b(b+c),求证A=2B

Answer 1

证明：

因为a^2=b^2+c^2-2bccosA,
又由题意知，a^2=b^2+bc
所以c^2-2bccosA=bc
则c=b(1+2cosA)
所以由正弦定理c/sinC=b/sinB得
sinB+2cosAsinB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
则sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B)
又A,B,C都是三角形的内角，
所以B=A-B
即A=2B

Answer 2

延长BA到点D，使得AD等于AC。 因为a^2=b(b+c)，根据射影定理，可以得到CA垂直于BD。即原三角形ABC为直角三角形，角A为直角，可以得到a^2=b^2+c^2,，且a^2=b(b+c)。可知b=c。所以三角形ABC是等腰直角三角形。所以A=2B

Answer 3

这个不难。
利用三角形余弦定理：
cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosa=(b^2+c^2-a^2)/2bc
以及倍角公式：
cos2b=(cosb)^2-(sinb)^2
就算出来了。
sinb=√(4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2)/4a^2c^2
可以cos2b/cosa，或者相减都能算出来