在△ABC中,若a²=b(b+c),求证;A=2B
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根据余弦定理
A^2=B^2+C^2-2BCcos(A);
则B=C-2Bcos(A);
根据正弦定理
sin(B)=sin(C)-2sin(B)cos(A);
c=π-A-B;
sin(c)=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B);
所以sin(B)=sin(A)cos(B)-sin(B)cos(A)=sin(A-B);
在三角形中,当且仅当A-B=B即A=2B上式成立。
A^2=B^2+C^2-2BCcos(A);
则B=C-2Bcos(A);
根据正弦定理
sin(B)=sin(C)-2sin(B)cos(A);
c=π-A-B;
sin(c)=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B);
所以sin(B)=sin(A)cos(B)-sin(B)cos(A)=sin(A-B);
在三角形中,当且仅当A-B=B即A=2B上式成立。
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这各可以假设,a²=b(b+c),这种情况等腰直角三角形就符合这个公式,所以∠A=90,∠B=45,
所以∠A=2∠B
所以∠A=2∠B
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