Question

设直线L：Y=kx+2与椭圆C:X的平方/2+y的平方=1交于不同的两点A B,O为坐标原点.

(1):求K的取值范围?

（2):若OA向量乘OB向量=1，求直线L的方程?

（3):当K为何值时，三角形OAB的面积取得最大值？最大值是多少？

Answer 1

（1）直线L与椭圆C联立。得：x²/2+(kx+2)²=1 展开得出△=b²-4ac=4k²-6，

∵是不同的两点AB，∴△＞0，得出k∈（-∞，√6/2）∪（√6/2，∞）。

（2）设A（x1，kx1+2）B（x2，kx2+2）。OA向量乘OB向量=(1+k²)*x1x2+2k*(x1+x2)+4

由刚才的联立得出(1/2+k²)*x²+4kx+3=0 

韦达定理x1x2=6/(2k²+1) x1+x2==-8k/(2k²+1） 代入

6(k²+1)-2k*8k+3(2k²+1）=0，k=±3/2,y=±3/2x+2

（3）附图吧。手写真好。手头财富值为0了。所以清楚的解答楼主看起来可以方便些。

楼上的那位答案都复制错误了。最后一步错，k值还是对的，面积是二分之根号二

 

 

Answer 2

直线方程代入椭圆方程，得（2k^2+1)x^2+8kx+6=0,Δ>0,得k的范围【-∞，√6/2】∪【√6/2，∞】
设A（x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k/(2k^2+1）............(1)
x1x2=6/(2k^2+1).........................(2)
OA*OB=x1x2+y1y2=(k^2+1)x1x2+2k(x1+x2)+4=1,.....................(3)
(1),(2)代入（3），得6(k^2+1)-2k*8k+3(2k^2+1）=0，k=±3/2,y=±3/2x+2
AB=√（1+k^2)*√Δ/a=√（1+k^2)*√(16k^2-24)/(2k^2+1)
O到AB的距离d=2/√(k^2+1)
S=1/2*AB*d=2√{(4k^2-6)/(2k^2+1)^2}(令t=2k^2-3)=2√[2t/(t+4)^2]
=2√[2/(t+16/t+8)]. 当t=4即k=±√14/2时，S有最大值1/8

Answer 3

楼上复制的够快的。