Question

高中数学正余弦定理问题

在三角形ABC中，sinA=（sinB+sinC)/（cosB+cosC），判断三角形的形状。
需要解题过程。

Answer 1

由正弦定理得：sinA=a/2R、sinB=b/2R、c=sinC/2R。
所以，a=(b+c)/(cosB+cosC)
即acosB+acosC=b+c
由余弦定理得：
acosB=(a^2+c^2-b^2)/(2c)
acosC=(a^2+b^2-c^2)/(2b)
(a^2+c^2-b^2)/(2c)+(a^2+b^2-c^2)/(2b)=b+c
a^2b+bc^2-b^3+a^2c+b^2c-c^3=2b^2c+2bc^2
a^2b-bc^2-b^3+a^2c-b^2c-c^3=0
a^2(b+c)-bc(b+c)-(b+c)(b^2-bc+c^2)=0
(b+c)(a^2-bc-b^2-c^2+bc)=0
a^2-b^2-c^2=0
b^2+c^2=a^2
所以，三角形ABC为直角三角形。

Answer 2

由正弦定理得：sinA=a/2R、sinB=b/2R、c=sinC/2R。
所以，a=(b+c)/(cosB+cosC)
即acosB+acosC=b+c
由余弦定理得：
acosB=(a^2+c^2-b^2)/(2c)
acosC=(a^2+b^2-c^2)/(2b)
(a^2+c^2-b^2)/(2c)+(a^2+b^2-c^2)/(2b)=b+c
a^2b+bc^2-b^3+a^2c+b^2c-c^3=2b^2c+2bc^2
a^2b-bc^2-b^3+a^2c-b^2c-c^3=0
a^2(b+c)-bc(b+c)-(b+c)(b^2-bc+c^2)=0
(b+c)(a^2-bc-b^2-c^2+bc)=0
a^2-b^2-c^2=0
b^2+c^2=a^2
所以，三角形ABC为直角三角形。

Answer 3

先用一次正弦定理即可得acosC+acosB=b+c,然后根据射影定理b=acosC+ccosA及c=acosB+bcosA,代入第一个式子可得bcosA+ccosA=0,于是cosA=0,此三角形为直角三角形

Answer 4

虽然能一下子想到A=90°，B=C=45°，但是解题步骤确实忘了

Answer 5

这个真忘了

Answer 6

N!就是那个推荐答案了！ 回答的很不错呢~~~