Question

有谁会做这道数学竞赛题？写出详细的解答过程，谢谢！

设二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）满足：当0≤x≤1时，|y|≤1. 则|a|+|b|+|c|的最大值是多少？

Answer 1

解
函数f(x)=ax²+bx+c
由题设可得
f(0)=c
f(1/2)=(a/4)+(b/2)+c
f(1)=a+b+c
解上面关于a,b,c的方程组，可得：
a=2f(1)-4f(1/2)+2f(0).
b=4f(1/2)-f(1)-3f(0)
c=f(0)
由题设可知
|f(0)|≤1, |f(1/2)|≤1 |f(1)|≤1
∴由三角不等式可得：
|a|+|b|+|c|
=|2f(1)-4f(1/2)+2f(0)|+|4f(1/2)-f(1)-3f(0)|+|f(0)|≤3|f(1)|+8|f(1/2)|+6|f(0)|≤17.
∴最大值为17

Answer 2

首先可以确定该函数是单调的，再根据值域，再用线性规划，具体自己算

Answer 3

函数f(x)=ax²+bx+c
当0≤x≤1时
f(0)=c
f(1/2)=(a/4)+(b/2)+c
f(1)=a+b+c
解上面关于a,b,c的方程组，可得：
a=2f(1)-4f(1/2)+2f(0).
b=4f(1/2)-f(1)-3f(0)
c=f(0)
由题设可知
|f(0)|≤1, |f(1/2)|≤1 |f(1)|≤1
∴由三角不等式可得：
|a|+|b|+|c|
=|2f(1)-4f(1/2)+2f(0)|+|4f(1/2)-f(1)-3f(0)|+|f(0)|≤3|f(1)|+8|f(1/2)|+6|f(0)|≤17.
∴最大值为17

Answer 4

 

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