Question

一道初中数学题，发现学了高数之后，中学的题都不会了...

2.如下图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直与DM，且交角CBE的平分线于N。（1）求证：MD=NM

Answer 1

从N做AB垂线 假设交点为P
显然AMD和PNM相似
既然BN是角平分线所以角是45° 所以NP=BP
然后用相似三角形性质得到MP=AD=2NP 所以俩三角形全等 得证

Answer 2

证明：取AD中点F,连接MF,
所以：AF=DF=AM=BM
所以⊿AMF是等腰直角三角形
所以∠AFM=∠AMF=45º
所以∠DFM=135º
∵BN是∠CBE的角平分线
∴∠NBE=45º
∠MBN=135º
∴∠MBN=∠DFM=135º
因为MN⊥DM
所以∠DMA+∠NMB=90º
又∠DMA+∠ADM=90º
所以∠NMB=∠ADM
∵∠MBN=∠DFM=135º, MB=DF,∠NMB=∠ADM
∴⊿MBN≌⊿DFM
∴MD=NM

Answer 3

证：取AD中点F,连接MF,
∴AF=DF=AM=BM
∴⊿AMF是等腰直角三角形
∴∠AFM=∠AMF=45º
∴∠DFM=135º
∵BN是∠CBE的角平分线
∴∠NBE=45º
∠MBN=135º
∴∠MBN=∠DFM=135º
∵MN⊥DM
∴∠DMA+∠NMB=90º
又∠DMA+∠ADM=90º
∴∠NMB=∠ADM
∵∠MBN=∠DFM=135º, MB=DF,∠NMB=∠ADM
∴⊿MBN≌⊿DFM
∴MD=NM

Answer 4

连接DN、BD，有BD垂直BN，因而D、M、N、B四点共圆，从而∠DNM=∠DBM=45度，故三角形DNM是等腰直角三角形，DM=MN

Answer 5

过N做BE的垂线交BE于F。证明三角形ADM与三角形MNF相似。则可证明NF等于AM,从而即可证MD=MN.