Question

在三角形ABC中，设向量BC*CA=CA*AB 第二问？

在三角形ABC中，设向量BC*CA=CA*AB
(1)求证：三角形ABC为等要腰三角形
（2）若向量│BA+BC│=2,且B属于[pai/3,2pai/3],求BA×BC的取值范围。

Answer 1

1.
向量BC乘向量CA等于向量CA乘向量AB,
BC•CA=CA•AB,
BC•CA -CA•AB =0,
CA•(BC- AB) =0,
(CB+BA) •(BC- AB) =0,
(-BC-AB)•(BC- AB) =0,
即-(BC+AB)•(BC- AB) =0,
所以-( BC²- AB²)=0, BC²= AB²，
∴|BC|=|AB|，所以三角形ABC为等腰三角形。

2.
设|BC|=|AB|=a,
｜BC+BA｜=2,平方得：BC²+BA²+2 BC• BA=4，
即a²+ a²+2 a² cosB=4，所以2 a²(1+ cosB)=4,
∴a²＝2/（cos∠B+1）.
BA•BC＝a²cosB＝2cosB/（cos∠B+1）＝2-2/（cos∠B+1）
∵∠B∈[π/3, 2π/3]
-1/2≤ cos∠B≤1/2.
1/2≤cos∠B+1≤3/2
2/3≤1/（cos∠B+1）≤2
-4≤-2/（cos∠B+1）≤-4/3
-2≤2-2/（cos∠B+1）≤2/3
∴BA•BC∈[-2,2/3]

Answer 2

设|BC|=|AB|=a, ｜BC+BA｜=2,平方得：BC²+BA²+2 BC• B A=4， 即a²+ a²+2 a² cosB=4，所以2 a²(1+ cosB )=4, ∴a²＝2/（cos∠B+1）. BA•BC＝a²cosB＝2cosB/（cos∠B+1） ＝2-2/（cos∠B+1） ∵∠B∈[π/3, 2π/3] -1/2≤ cos∠B≤1/2. 1/2≤cos∠B+1≤3/2 2/3≤1/（cos∠B+1）≤2 -4≤-2/（cos∠B+1）≤-4/3 -2≤2-2/（cos∠B+1）≤2/3 ∴BA•BC∈[-2,2/3]