Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，连CO

（1）求证：CO平分∠ACB
（2）求证：CA+CB=√2CO

Answer 1

(1)延长CB至点G，使BG=AC,连结GE
∵∠CAB+∠ABC=90° ∠ABC+∠EBG=90°
∴∠CAB=∠EBG①
且AB=BE②，BG=AC③
根据①②③ ∴△ACB≌△BGE
∵∠CAB=∠EBG
∴∠CAO=∠OBG④
且AO=OB⑤，AC=BG⑥
根据④⑤⑥∴△OAC≌△OBG
∴∠ACO=∠BGO
又∵CO=OG
∴∠OCG=∠BGO
∴∠OCG=∠ACO
所以CO平分∠ACB
（2）∵CA+CB=CG
∵CO平分∠ACB，且∠ACB=90°
∴∠OCG=∠BGO=45°
∴∠COG=90°
∵CO=OG而△COG为等腰RT△
∴斜边等于直角边的√2倍
∴√2CO=CG

Answer 2

1 延长CB至点G，使BG=AC,连结GE
∵∠CAB+∠ABC=90° ∠ABC+∠EBG=90°
∴∠CAB=∠EBG①
且AB=BE②，BG=AC③
根据①②③ ∴△ACB≌△BGE
∵∠CAB=∠EBG
∴∠CAO=∠OBG④
且AO=OB⑤，AC=BG⑥
根据④⑤⑥∴△OAC≌△OBG
∴∠ACO=∠BGO
又∵CO=OG
∴∠OCG=∠BGO
∴∠OCG=∠ACO
所以CO平分∠ACB
2 ∵CA+CB=CG
∵CO平分∠ACB，且∠ACB=90°
∴∠OCG=∠BGO=45°
∴∠COG=90°
∵CO=OG而△COG为等腰RT△
∴斜边等于直角边的√2倍
∴√2CO=CG