Question

问一道数学题：设X/X^2+X+1=a,a不等于0，则X^2/X^4+X^2+1=?

Answer 1

X/(X²+X+1)=a

那么1/(X+1+1/X)=a
所以X+1/X=1/a-1
所以(X+1/X)²=(1/a-1)²
即X²+1/X²+2=1/a²+1-2/a
所以X²+1/X²+1=1/a²-2/a=(1-2a)/a²
那么X^2/(X^4+X^2+1)=1/(x²+1+1/x²)=a²/(1-2a)

追问

第二步“
所以X+1/X=1/a-1

”不是很清楚。

追答

因为1/(X+1+1/X)=a

所以X+1+1/X=1/a
那么X+1/X=1/a-1

Answer 2

x=a(x²+x+1)
ax²+a=(1-a)x
x²+1=(1-a)x/a
两边平方
x^4+2x²+1=(1-2a+a²)x²/a²
两边减去x²
x^4+x²+1=(1-2a)x²/a²

所以x²/(x^4+x²+1)=a²/(1-2a)

Answer 3

由x/x^2+x+1=a得x/x^2+x=a-1，知(x/x^2+x)^2=(a-1）^2

x^2/x^4+x^2+1=（x^2/x^4+x^2+2）-1=（x/x^2+x）^2-1=(a-1）^2-1==a^2-2a.

Answer 4

x/(x^2+x+1)=1/(x+1/x+1)=a
x+1/x=1/a-1
x^2/(x^4+x^2+1)=1/(x^2+1/x^2+1)=1/((x+1/x)^2-1)=1/((1/a-1)^2-1)=1/(1/a^2-2/a)=a^2/(1-2a)

Answer 5

（ a-1）^2