Question

设Sn为数列{An}的前n项和,且对任意n∈N*都有Sn=2(-1) 记f(n)=3^n/2^n×Sn

1.求an
2.比较f(n+1)与3/4f(n)的大小
3.证明（2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+....+f（2n-1）＜3
Sn=2(An-1)

Answer 1

1.s(n)=2a(n)-2
n>=2
s(n-1)=2a(n-1)-2
s(n)-s(n-1)=2(a(n)-a(n-1))=a(n)
a(n)=2a(n-1)
a(n)/a(n-1)=2=q
所以数列{a(n)}是等比数列
n=1,a(1)=s(1)=2a(1)-2,a1=2
n=2,s(2)=2(a(2)-1)=a(1)+a(2),a(2)=4
a(2)/a(1)=2=q
所以数列{a(n)}是以首相为2，公比为2的等比数列
a(n)=2*2^(n-1)=2^n
2.f(n+1)-3/4f(n)=3^(n+1)/2^(n+1)s(n+1)-3/4*3^n/2^ns(n)=3^(n+1)a(n+1)/2^(n+2)=3^(n+1)/2>0
所以f(n+1)>3f(n)/4
3.令g(n)=f(1)+f(2)+...+f(2n-1)
得，3/2g(n)=3^2s(1)/2^2+3^3s(2)/2^3+...+3^(2n-1)s(2n-1)/2^(2n-1)
g(n)=Σ3^(2n-1)S(n)/2^(2n-1),n=1,2,...,2n-1
因为函数g(n)是递增的
所以g(n)的2n-1项和的最小值为=（2n-1)f(1),最大值为=3（趋近于）
上面2值均用放松法求的
所以原不等式得证。

Answer 2

sn=2(-1)什么意思啊？

Answer 3

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