Question

已知数列{an}满足a1=1,an=a(n-1)+1/a(n-1)(n≥2,n∈N*)

求证:根号（2n-1）＜an＜根号（3n-1）

Answer 1

首先由a1=1,an=a(n-1)+1/a(n-1)(n>=2)确定an各项均为正数，对原式两边进行平方，整理得(an)^2-(a(n-1))^2=2+1/(a(n-1))^2,采用累加法得，(an)^2-(a1)^2=2（n-1）+1/(a1)^2……+1/(a(n-1))^2，(an)^2=2n-1+1/(a1)^2……+1/(a(n-1))^2>2n-1,(an)^2-（3n-1)=1/(a1)^2……+1/(a(n-1))^2-n,由an=a(n-1)+1/a(n-1)，得an-a(n-1)=1/a(n-1)>0,所以,an>=1,(an)^2-（3n-1)=1/(a1)^2……+1/(a(n-1))^2-n<(n-1)-n=-1<0,所以(an)^2<（3n-1),再开根号，得根号（2n-1）＜an＜根号（3n-1）