Question

过点A(11,2)作圆x^2+y^2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的弦的条数是多少? 正确答案是32条 求解析。。谢谢

Answer 1

圆x2+y2+2x-4y-164=0，
即(x+1)^2+(y-2)^2=13^2,
所以A点在圆内部.
圆心(-1,2)到A点的距离=12，
所以过A点的弦的距离的最小值=2×(13^2-12^2)^0.5=10.
过A点的最大值=直径=26，
所以弦的最大值=26，最小值=10，
而弦长为11，12，……，25的各有2条，
所以弦长为整数的有15×2+2=32条.

Answer 2

x² + y² + 2x - 4y -164 = 0
x²+ 2x + 1 + y² -4y -4 = 169
(x+1)² + (y-2)² =13²
圆心C(-1, 2), 半径r = 13
CA = √[(-1-11)² + (2 - 2)²] = 12 < r
A在圆内, 过A的最长弦为直径, 长26
过A的最短弦与直径垂直, 长= 2√(r² + CA²) = 2√(13² + 12²) = 2*5= 10
想象过A的弦从最短位置开始旋转，直至与直径重合. 在此过程中，弦长连续变化，从10增加到26. 其中弦长为整数的弦为11, 12, 13, ..., 25, 共15条. 因为过A的弦可以沿顺时针和逆时针方向旋转, 所以还有15条弦在另一方向, 共30条, 再加上长为10和26的弦, 共32条