Question

黑板上写着从1开始的若干个连续自然数,擦去其中的一个后。其余个数的平均数是三十五又十七分之五。

擦去的数是多少？

Answer 1

设一共为n个自然数：
（1）设n为偶数：
和为（1+n）*n/2，平均数为（1+n）/2
减去某个数后的平均数为35又5/17，大于35，故n大于69，为偶数，可设n=70
当n=70时，擦去后的平均数分母为69，显然无法整除17.
（2）设n为奇数：
和为（1+n）*（n-1）/2+（n-1）/2，同（1）
当n=69时，擦去后的平均数分母为68，可以整除17
那么当n=69时，和为2414，擦去某数后的和为：2400，
显然擦去的数位14

Answer 2

1.设一共为n个自然数：
（1）设n为偶数：
和为（1+n）*n/2，平均数为（1+n）/2
减去某个数后的平均数为35又5/17，大于35，故n大于69，为偶数，可设n=70
当n=70时，擦去后的平均数分母为69，显然无法整除17.
（2）设n为奇数：
和为（1+n）*（n-1）/2+（n-1）/2，同（1）
当n=69时，擦去后的平均数分母为68，可以整除17
那么当n=69时，和为2415，擦去某数后的和为：2400，
显然擦去的数位15

2.设这些数是1，2，3，。。。，m，擦去的数是k，则
(1+2+3+...+m)-k=(35+5/17)*(m-1)
m(m+1)/2-k=600/17*(m-1)
k=m(m+1)/2-600*(m-1)/17
所以，17|m-1
设m=17n+1，则k=(17n+1)(17n+2)/2-600n=(289n^2-1149n+2)/2
由于 1<=k<=m=17n+1
即 1<=(289n^2-1149n+2)/2<=17n+1
解得 3.9<=n<=4.1
故n=4，m=69，k=15
即 擦掉的数是15，共写了69个数。

Answer 3

原数是27~44，擦掉的数字是39