Question

已知函数f(x)=x+1/(x+1),g(x)=ax+5-2a(a＞0﹚。若对任意m∈[0,1],总存在m`∈[0,1]，使得g(m`)=f(m)成立，

求a的取值范围

Answer 1

当x∈[0,1]时，f(x)=x+1/(x+1)=(x+1)+1/(x+1)-1，易知，当x+1=1/(x+1)即x=0时，f(x)取得最小值1，当0<x<=1时，f(x)是增函数，即f(0)<f(x)<=f(1)亦即1<f(x)<=3/2
所以，当x∈[0,1]时，f(x)的值域是[1,3/2]
对于g(x)=ax+5-2a(a>0)，在[0,1]上是增函数，有g(0)<=g(x)<=g(1)，即5-2a<=g(x)<=5-2a
亦即当x∈[0,1]时，g(x)的值域是[5-2a,5-2a].
依题意，当x∈[0,1]时，g(x)的值域应包含f(x)的值域，于是：
5-2a<=1
5-a>=3/2
解上述两式，得到
2<=a<=7/2

Answer 2

回答

当x∈[0,1]时，f(x)=x+1/(x+1)=(x+1)+1/(x +1)-1，易知，当x+1=1/(x+1)即x=0时，f( x)取得最小值1，当0<x<=1时，f(x)是增 函数，即f(0)<f(x)<=f(1)亦即1<f(x)<=3/2 所以，当x∈[0,1]时，f(x)的值域是[1,3/2] 对于g(x)=ax+5-2a(a>0)，在[0,1]上是增 函数，有g(0)<=g(x)<=g(1)，即5-2a<=g( x)<=5-2a