Question

若方程lg(x²+20x)=lg(8x-6a-3)有且只有一个实根,求实数a的范围

答案是a≤-1/2或者a≥-163/6，求解释，谢谢

Answer 1

这个方程等价于x²+20x=8x-6a-3，并且x²+20x>0,8x-6a-3>0。
简单地说，就是曲线y=x²+20x与y=8x-6a-3在x轴上方有且只有一个交点。这句话请你理解一下。
一种情况是曲线与直线相切，这就要求切点在x轴上方。
下面求切点
y'=2x+20=8
x=-6代入曲线方程得y=-84<0。切点在x轴下方，所以这种情况是不可能的吗，应当排除。
另一种情况是曲线与直线有两个交点，并且一个交点在x轴下方（或就在x轴上，根据曲线形状应该是靠左的那个点），另一个交点在x轴上方（靠右的点）。
下面求交点
x²+20x=8x-6a-3;x²+12x+36=-6a+33;(x+6)²=-6a+33
x1=-6-√（-6a+33）
x2=-6+√（-6a+33）(根号被我用勾代替了，为了输入方便)
把x的值代入直线方程（或曲线方程），得到y1=-8√（-6a+33）-6a-51，以及y2=8√（-6a+33）-6a-51。
令y1≤0,y2>0。
接下来就是计算了，通过y1≤0算出a≥-163/6，通过y2>0算出a<-1/2。
根据我之前的阐述，y1≤0,y2>0必须是同时成立的。所以答案是-1/2>a≥-163/6。
所以你的答案似乎是有问题的。
总体看来，我觉得这题的计算量过大，似乎是数据没有凑好，答案里-163/6这样的数，我觉得是没有多大意义的，所以你在看这题的时候要跟注意一下整体的解题思想，而不是结果。等你算的时候就知道，这个结果算起来不轻松，也不是这么简单就能得到的。所以你看一下解题思路就行了。

Answer 2

首先，若方程有根，则根满足 x^2+20x>0 ，即 x(x+20)>0 ，
因此 x<-20 或 x>0 。
其次，由 x^2+20x=8x-6a-3 得 (x+6)^2=33-6a ，
当 x>0 时，33-6a=(x+6)^2>36 ，所以， a<-1/2 ，
当 x<-20 时，33-6a=(x+6)^2>196 ，所以，a<-163/6 ，
取并集，得 a 的取值范围是 a<-1/2 ，即 （-∞，-1/2）。

你给的答案是错误的。

Answer 3

由lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0
可得lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3)
所以x2+20x=8x-6a-3
即x2+20x-8x+6a+3=0
x2+12x+6a+3=0
有唯一的解，所以判别式等于0
即12^2-4(6a+3)=0可解得a=11/2