Question

求二阶微分方程y''-y=（sinx）^2的解

Answer 1

先求齐次方程y''-y=0的通解，
显然其特征方程为λ^2 -1=0解得λ=1或 -1
即y''-y=0的通解为c1e^x +c2e^(-x) c1、c2为常数

再求非齐次方程y''-y=(sinx)^2的特解，
显然(sinx)^2=0.5 -0.5cos2x，
故设y=acos2x -0.5，求导得到y''= -4acos2x
故y''-y= -4acos2x - (acos2x -0.5)= -5acos2x +0.5=(sinx)^2=0.5 -0.5cos2x
所以 -5a= -0.5，即a= 0.1

所以此二阶微分方程的解为：
y=c1e^x +c2e^(-x) + 0.1cos2x -0.5 c1、c2为常数

追问

请问为什么特解要设成y=acos2x -0.5

追答

因为方程y''-y=(sinx)^2中的非齐次项(sinx)^2=0.5 -0.5cos2x，
这里的常数0.5显然是来自于y当中，
而三角函数sinx和cosx在求导两次之后都只是改变了符号而已，
(sinx)"= -sinx，(cosx)"= -cosx，
因此-0.5cos2x一定是由acos2x的二阶导数减去acos2x得到的
所以就将特解设成y=acos2x -0.5

实际上当然可以把特解设成：
y=Asin2x +Bcos2x +C 来做，之后用待定系数法来解出常数ABC的值，
在这里我这样来设更多的是做题的经验吧