Question

x[1/x]>1-x如何证明？

Answer 1

[1/x]是否代表不大于x的最大数，否是，证明如下：
当x>1时,左边是正数,右边是负数,不等式成立.
x=1时,左边是1,右边是0,不等式成立.
0<x<1时,[1/x]=1/x-a,其中0<a<1,所以 x[x]>x(1/x-a)=1-ax>1-x (0<a<1,x>0,所以-ax>-x)
若x<0时,则[1/x]=1/x-a,其中0<a<1,所以 x[x]>x(1/x-a)=1-ax<1-x (0<a<1,x<0,所以-ax<-x)
所以应有:当x>0时x[1/x]>1-x,当x<0时x[1/x]<1-x

Answer 2

即证x (1+[1/x] )>1
x>0时，即证1+[1/x] >1/x，即证1 >1/x-[1/x]={1/x} 显然成立

x<0时，即证1+[1/x]<1/x, 即证1<1/x -[1/x] ＝{1/x} 显然不成立

Answer 3

可以证明x[1/x]>1-x对x>0成立，对x<0不成立
设1/x=t
则原不等式化为:1/t[t]>1-1/t
1.若t<0
等价于[t]<t-1
而[t]=t-{t}>t-1,矛盾
2.若
若t>0
等价于[t]>t-1
因为{t}<1
所以[t]=t-{t}>t-1
得证