Question

如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC.M.N分别为AD.BC的中点.E.F分别是BM.CM的中点 (1)证明；四边形MENF是棱形

如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC.M.N分别为AD.BC的中点.E.F分别是BM.CM的中点(1)证明；四边形MENF是棱形（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高的底边数量关系，并证明你的结论

Answer 1

（1）根据等腰梯形的中位线的性质求出四边形四边相等即可；
（2）利用等腰梯形的性质和正方形的性质解答．

解：（1）已知四边形ABCD为等腰梯形，M为AD的中点
则∠A=∠D，AB=DC，AM=DM，
在△ABM与△DCM中，
AB=DC
∵∠A=∠D
AM=DM ，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴MB=MC
△MBC为等腰三角形
N为BC的中点
E为BM的中点，
∴EN是△MBC的中位线，
得EN∥MC
得△BEN为等腰三角形，且EB=EN
又因为EB=EM
得EM=EN
同理可证FM=FN
MB=MC
ME=EB，MF=FC
得ME=MF
即四边形MENF为菱形．

（2）梯形的高是底边BC的一半．
证明：∠BMC=90°
△ABM≌△CDM
∴△BMC是等腰直角三角形
过M点作BC的高
由等腰三角形三线合一可得
高也是直角三角形斜边（底边）的中线
再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得：
梯形的高是底边BC的一半．

Answer 2

嘻嘻，懒得写
（2）利用等腰梯形的性质和正方形的性质解答．

解：（1）已知四边形ABCD为等腰梯形，M为AD的中点
则∠A=∠D，AB=DC，AM=DM，
在△ABM与△DCM中，
AB=DC
∵∠A=∠D
AM=DM ，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴MB=MC
△MBC为等腰三角形
N为BC的中点
E为BM的中点，
∴EN是△MBC的中位线，
得EN∥MC
得△BEN为等腰三角形，且EB=EN
又因为EB=EM
得EM=EN
同理可证FM=FN
MB=MC
ME=EB，MF=FC
得ME=MF
即四边形MENF为菱形．

（2）梯形的高是底边BC的一半．
证明：∠BMC=90°
△ABM≌△CDM
∴△BMC是等腰直角三角形
过M点作BC的高
由等腰三角形三线合一可得
高也是直角三角形斜边（底边）的中线
再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得：
梯形的高是底边BC的半．