Question

一道高中数学竞赛题求解

已知f(x)是2011次多项式，n=1,2,3……2011时，f(n)=n÷(n＋1),则f(2012)=?

Answer 1

题目似乎有点问题，2011次多项式，必须至少有2012个点才能确定结果

如果按照2010次多项式求解，利用拉格朗日插值公式可以求得
f(2012) = C(2011,2010)*(2011/2012) - C(2011,2009)*(2010/2011) + C(2011,2008)*(2009/2010)-...+C(2011,0)*(1/2)
=-2011/2012

有一个有趣的问题
更一般的情况：
已知f(x)是2n次多项式，n=1,2,3……k+1时，f(k)=k÷(k＋1),

那么f(k+1) = -(2n+1)/(2n+2)
例如，当次数分别是2,4,6,8,10,....的时候，所得结果分别为：
-3/4,-5/6,-7/8,-9/10.......

Answer 2

f(2012)=2012/(2012+1)=2012/2013
n=1,2,3……2011时，f(n)=n÷(n＋1),那么f(n)=n÷(n＋1)是通用公式。
已知f(x)是2011次多项式是没有化简的，化简后是f(n)=n÷(n＋1)，例如：f(n)=n÷(n＋1)*1^2011