Question

如图所示,在等腰Rt△ABC中,AC=BC,以斜边AB作等边△ABD,使得C、D在AB的同侧；再以CD为边作等边△CDE，

使得C、E落在AD的异侧，若CD=跟√3-1，求AE的长

Answer 1

延长DC交AB于点F，
因为，AC = BC ，AD = BD ，
所以，C、D都在线段AB的垂直平分线上，
即有：CD⊥AB ，AF = FB ；

因为，DF是等边△ABD的高，则DF平分∠ADB；
可得：∠ADC = ½∠ADB = 30° ，
所以，∠ADE = ∠CDE-∠ADC = 30° = ∠ADC ；

在△AED和△ACD中，ED = CD ，∠ADE = ∠ADC ，AD为公共边，
所以，△AED ≌ △ACD ，
可得：AE = AC ；

因为，CF是等腰Rt△ABC斜边上的高，
所以，CF = AF ，AC = √2CF ；

设 CF = AF = x ，则 AE = AC = √2x ，
因为，CD+CF = DF = √3AF ，
即有：√3-1+x = √3x ，
解得：x = 1 ，
所以，AE = √2x = √2 。