Question

若实数x.y满足4^x+4^y=2^x+1+2^y+1,则t=2^x+2^y的取值范围是？ t>2能用别的办法求么谢谢

不用三角函数的比较简单的办法

Answer 1

可以这样分析：

设m=2^x,      4^x=m²，2^(x+1)=2m,

n=2^y,        4^y=n²,    2^(y+1)=2n

m²+n²=2m+2n

m²-2m+1+n²+2n+1=2

(m-1)²+(n-1)²=2

这是一个以m为横坐标，n为纵坐标，圆心（1，1），半径r=√2的圆，

这个圆过圆点O（0，0），A（2，0），B（0，2）。

∵m=2^x＞1,n=2^y＞1,∴t=m+n=2^x+2^y表示为第一象限的一段弧，

∴2＜t≤4. 

追问

m=2^x＞1,n=2^y＞1,为什么啊不是大于零么

追答

∵x＞0，∴m=2^x＞1
即1＜m≤2，
1＜n≤2
2＜m+n≤4.

追问

哪有说X>0? 谢谢

Answer 2

可令m=2^x ,n=2^y(则m,n＞0）
则m²+n²=2（m+n）
即求t=m+n（t＞0）的范围
因为（m²+n²）+（m²+n²）≥2mn+(m²+n²)
即2（m²+n²）≥（m+n）²
即m²+n²≥（m+n）²/2
所以m²+n²=2（m+n）≥（m+n）²/2
即 2 t ≥ t²/2
解得： 0≤t≤4
又t＞0
所以 t的取值范围是 0＜t≤4

追问

拜托，，，好吧答案是（2,4]

追答

我知道了，还有t的下线范围没确定。不好意思啊~~~~~
好吧，那就再换一种方法
（数形结合）
可令m=2^x ,n=2^y(则m,n＞0）
则m²+n²=2（m+n）
即m²+n²-2m-2n=0
即（m-1）²+（n-1)²=2 （m,n＞0）
可以把上式看成是一个以（1,1）为圆心，根号2为半径的圆。（图就自己画吧，注意m,n＞0，因此它其实不是个完整的圆）
然后t=m+n用线性规划做，与圆相切时最大，极限为最左下方