Question

急求解一道高一函数题!!~~`重赏~~~

函数f(x)满足,定义域是(0,+∞),当x>1时,f(x)<2,对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-2,回答下面的问题:
(1)求出f(1)的值
(2)写出一个满足上述条件的具体函数
(3)判断函数f(x)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论

求解~~有追加!!!

Answer 1

解: (1) f(1)＝2f(1)-2 所以 f(1)=2
(2) 如f(x)=[log(1/2)X]+2 【解释 (1/2)为底数 2加在整个对数外面 没验证的】
证明:(3) 任取x1、x2∈(0,+∞) 且令 x1<x2 因为 f(x2)=f(x2/x1×x1)=f(x1)+f(x2/x1)-2 因为 x1、x2∈(0,+∞) 且 x1<x2 所以 (x2/x1)>1 所以 f(x2/x1)<2 所以 f(x1/x2)-2<0 所以 f(x2)<f(x1) 所以 f(x) 是单减函数。

这个 打到电脑上 有点 畸形哈~~~

Answer 2

1)
f(x)定义域是（0,正无穷）,当x>1时,f(x)<2;
对任意x,y属于（0,正无穷）,总有f(xy)＝f(x)+f(y)-2.
得f(1)=2；

2) 答案很多了 自行发挥~

3)判断函数f(x)的单调性，并用单调性的定义证明结论．

设0<x1<x2,不妨令x2=kx1(k>1)

有:f(x2)-f(x1)=f(kx1)-f(x1)=[f(k)+f(x1)-2]-f(x1)=f(k)-2<0 ( 已知条件(2))

可知:自变量增大时,函数值则减小

得知:函数f(x)在(0,+∞)时为减函数