Question

A为实数，设函数f(x)=a(1-x^2)^0.5+(1+x)^0.5+(1-x)^0.5的最大值为g(x).求满足g(x)=g(1÷a)的所有实数a

Answer 1

哇。。 。。 很麻烦的题啊。。。

首先要求 g(x)
所以呢：
当a=0时，f(x)=t,而t的最大值为2，这时f(x)的最大值就是g(x)=2
当a＜0时，f(x)的最大值其实就是m(t)的最大值，
m(t)=a/2t²+t-a
这时一个二次函数，当t=-1/a时，m(t)取得最大值-1/(2a)-a。不过，这一值不是可以取的，因为t是有取值范围的，所以要想在这里取得最大值，那么a也要满足t的取值范围，即要：
√2≤-1/a≤2→-1/√2≤a≤-1/2。所以总结起来就是，当
-1/√2≤a≤-1/2时，取的最大值-1/(2a)-a
当a＜-1/√2即-1/a＜√2时，也就是该二次函数的对称轴在t的最小值的左边，从图像上就可以判断，此时m(t)的最大值就是当t取√2的时候，即此时
g(x)=√2
当-1/2＜a＜0即-1/a＞2时，也就是该二次函数的对称轴在t的最大值的右边，
从图像上就可以判断，此时m(t)的最大值就是当t取2的时候，即此时
g(x)=a+2
当a＞0时，二次函数m(t)开口向上，且对称轴小于0，从图像上就可以看出，此时m(t)的最大值就是当t取2时的最大值，即此时
g(x)=a+2
综合前面所有的结论：
当a≤-1/√2时，g(x)=√2；………………………………情况①
当-1/√2≤a≤-1/2时，g(x)=-1/(2a)-a…………………情况②
当a＞-1/2时，g(x)=a+2……………………………………情况③
（情况③中，其实就是将当a=0时也包括进去了，因为当a=0时，符合这一函数）
3:
由2可知，当a＜-1/√2，1/a＞-√2，属于情况②，要想满足条件，只需让g(a)=-1/(2a)-a=√2，解得，a=-1/√2，其实也就是在这两种情况的交界处，所以a=-1/√2是符合要求的。
当-1/√2≤a≤-1/2时，-2≤1/a≤-√2，显然1/a是在情况①的范围。要想使之符合要求，只要令g(a)=√2，解出符合要求的a即可，而这已经在①中完成。
当-1/2＜a＜0时，1/a＜-2，这是情况1的范围了。令a+2=√2→a=√2-2，这就不属于-1/2＜a＜0这一范围了，所以当-1/2＜a＜0时，不存在符合要求的a值
当a=0，显然不符合要求。
当a＞0,1/a也是大于0，令
g(a)=g(1/a)→a+2=1/a+2，解出a=1（-1省略掉）
综合以上所有的情况，符合要求的实数a有：a=-1/√2，a=1。

么么哒~~~ OP明白了么？
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