Question

已知a,b,c,d都是正数，求证：根号下【a^2+c^2+d^2+2cd】+根号下【b^2+c^2】>根号下【a^2+b^2+c^2+2ab】

Answer 1

证：∵a﹥0,b﹥0,c＞0,d＞0,
∴左边=√(a²+c²+d²+2cd) +√(b²+c²) ＞√(a²+c²) + √(b²+c²)
=a+c²/[√(a²+c²) + a] +b + c²/[√(b²+c²) + b] ＞a+b+c²/[√((a+b)²+c²) + (a+b)]
=√[(a+b)²+c²]=右边 □

Answer 2

引入复数z1＝a＋（c＋d）i、z2＝b＋ci。则：
｜z1｜＋｜z2｜≧｜z1＋z2｜＝｜（a＋b）＋（2c＋d）i｜，
∴√［a^2＋（c＋d）^2］＋√（b^2＋c^2）≧√［（a＋b）^2＋（2c＋d）^2］。

∵a、b、c都是正数，　∴2c＋d＞c，　∴（2c＋d）^2＞c^2。
∴（a＋b）^2＋（2c＋d）^2＞（a＋b）^2＋c^2，
∴√［（a＋b）^2＋（2c＋d）^2］＞√［（a＋b）^2＋c^2］，
∴√［a^2＋（c＋d）^2］＋√（b^2＋c^2）＞√［（a＋b）^2＋c^2］，
∴√（a^2＋c^2＋d^2＋2cd）＋√（b^2＋c^2）＞√（a^2＋b^2＋c^2＋2ab）。