Question

多元函数求极限。

为什么这个极限存在，就等于0呢？它都没说f具体是什么？

Answer 1

显然在(0,0)处x²+y²=0，
那么如果极限
lim f(x,y) / (x²+y²) 存在的话，
(x->0,y->0)

f(x,y)在(0,0)处的极限也为0，
因为如果f(x,y)在(0,0)处的极限不是0的话，
那么一个非0的数除以0，其极限一定不存在，
这就与
lim f(x,y) / (x²+y²) 极限存在矛盾
(x->0,y->0)

因此f(x,y)在(0,0)处的极限就是0

而条件又知道f(x,y)在(0,0)处连续，
故其函数值f(0,0)=f(x,y)在(0,0)处的极限值=0

Answer 2

因为分母趋于0，又极限存在，所以必有分子趋于0。