Question

设函数f(x)对任意的实数x均有f(x)+f(1-x)=1/2

1.求f(1/2)以及f(1/n)+f(n-1/n)的值

2.数列{an}满足an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+···+f(n-1/n)+f(1)，求an的通项公式
3.若bn=1/4an-1，证明b1的平方+b2的平方+...+bn的平方<2复制搜索

Answer 1

1.令x=1/2,代入题目等式得：2f(1/2)=1/2，所以f(1/2)=1/4
同理，令x=1/n,代入题目等式得：f(1/n)+f(n-1/n=1/2
2.需对n的奇偶性进行讨论：
（1）n为奇数：则an中含f(x)+f(1-x)=1/2个数为（n+1）/2，这里，可以令x=0,1,...,(n-1)/2
所以，an=(1/2)*((n+1)/2)=(n+1)/4
(2) n为偶数：则an中含f(x)+f(1-x)=1/2个数为n/2，同时还有单独一项f(1/2),同理可令x=0,1,...,n/2，所以an=(1/2)*(n/2)+1/4=(n+1)/4
综上，得：an=(n+1)/4
3.用2题结果代入，得：bn=1/n,则：题目转换为证明：1+(1/2)^2+...+(1/n)^2<2
由于n>n-1所以：1/n<1/(n-1),所以1/(n^2)<1/(n(n-1)),t然后用此式对上式放缩得：
1+(1/2)^2+...+(1/n)^2<1+(1/2)*1+...+1/(n(n-1))=1+(1-1/2)+...+(1/(n-1)-1/n)=1+1-1/n<2
注：1/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n
证明结束。