Question

设u=x-t （x≥0）下面的式子是如何变形的，积分上下限是如何变形的？

Answer 1

设u=x-t，那么f(t)=g(x-u)，g(x-t)=g(u)，dt=d(x-u)= -du
而积分上限为t=x时，u=x-x=0，下限为t=0时，u=x-0=x，
所以
∫(上限x，下限0) f(t)g(x-t) dt= - ∫(上限0，下限x) f(x-u)g(u)du
显然更换定积分的上下限符号改变，
即 - ∫(上限0，下限x) f(x-u)g(u)du= ∫(上限x，下限0) f(x-u)g(u)du

这时再把u代换成t，（只是改变一下函数的代号，和设u=x-t不是一回事）
得到
∫(上限x，下限0) f(x-u)g(u)du = ∫(上限x，下限0) f(x-t)g(t)dt

所以
∫(上限x，下限0) f(t)g(x-t) dt= - ∫(上限0，下限x) f(x-u)g(u)du =∫(上限x，下限0) f(x-t)g(t)dt