Question

已知数列｛an}的前n项和为Sn,且a2an=S2+Sn对一切正整数n都成立。①求a1,a2的值 ②设a1>0,数列{lg10a1/an

}的前n项和为Tn,当n为何值时，Tn最大，并求出最大值！

Answer 1

分析：
（I）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2-a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2
（II）由a1＞0，令bn=lg10a1
an
，可知bn=1-lg( 2
)n-1=1-1
2
(n-1)lg2=1
2
lg100
2n-1
，结合数列的单调性可求和的最大项
解答：
解：（I）当n=1时，a2a1=s2+s1=2a1+a2①
当n=2时，得a22=2a1+2a2②
②-①得，a2（a2-a1）=a2③
若a2=0，则由（I）知a1=0，
若a2≠0，则a2-a1=1④
①④联立可得a1= 2
+1，a2= 2
+2或a1=1- 2
，a2=2- 2

综上可得，a1=0，a2=0或a1= 2
+1，a2= 2
+2或a1=1- 2
，a2=2- 2

（II）当a1＞0，由（I）可得a1= 2
+1，a2= 2
+2
当n≥2时，(2+ 2
)an=s2+sn，(2+ 2
)an-1=s2+sn-1
∴(1+ 2
)an=(2+ 2
)an-1
∴an= 2
an-1（n≥2）
∴an=a1•( 2
)n-1=(1+ 2
)•( 2
)n-1
令bn=lg10a1
an

由（I）可知bn=1-lg( 2
)n-1=1-1
2
(n-1)lg2=1
2
lg100
2n-1

∴{bn}是单调递减的等差数列，公差为-1
2
lg2
∴b1＞b2＞…＞b7=lg10
8
＞ 0
当n≥8时，bn≤b8=1
2
lg100
128
＜1
2
lg1=0
∴数列{lg1
an
}的前7项和最大，T7=7(b1+b7)
2
=7(1+1-3lg2)
2
=7-21
2
lg2

追问

老师，感谢您。那是√2对吧？