Question

关于x的方程2^(2x)+a2^x+a+1=0有实根，求实数a的取值范围

请大家看下列解法;
若关于x的方程4x+2x•a+a+1=0有实根，求实数a的取值范围．
考点：函数的值域；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
专题：计算题．
分析：先换元，令t=2x，则关于 t 方程为t2+at+a+1=0 有实根，令a=
-t2-1t+1，结合基本不等式即可解出实数m的取值范围．
解答：解：令2x=t＞0，原方程即为t2+at+a+1=0
.⇒a=
-t2-1t+1=-(t+1)-(
2t+1)+2，t＞0⇒a≤-2
2+2，
当且仅当t=
2-1时等号成立．
故实数a的取值范围是(-∞，2-2
2]．
点评：本题考查方程根存在的条件，方程的根即对应函数的零点，体现换元的数学思想，注意换元过程中变量范围的改变．

请指出有没有问题？
两根不一定都要大于0，只要一根大于零，x也是有实数根的？

Answer 1

令t=2^x>0
则方程为t^2+at+a+1=0
a=-(t^2+1)/(t+1)
再令p=t+1>1
a=-[(p-1)^2+1]/p=-[p^2-2p+2]/p=-(p+2/p)+2
由p+2/p>=2√(p*2/p)=2√2
当p=2/p , 即p=√2时取最小值
故此得取值范围a<=2-2√2

Answer 2

a<=2-2√2