Question

立体几何求解

已知三棱柱ABC-A1B1C1,AA1=AB=AC=1,AB垂直AC,M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且向量A1P=u向量A1B1。
（1）证明：无论u取何值，总有AM垂直PN。
（2）当u取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大?并求该角取最大值时的正切值。
（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30度，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1)∵AB=AC=1,且∠BAC=90

∴BC=根号2，BN=NC=根号2/2

tan∠B1NB=BB1/BN=1/（根号2/2）=根号2

tan∠NMC=NC/CM=（根号2/2）/（1/2）=根号2

∴∠B1NB=∠NMC

△BNB1和△CMN都是直角三角形，且一个内角相等，

∴两者相似，∴∠BNB1+∠MNC=90

∴B1N⊥MN

又∵AN垂直面BCC1B1，∴AN⊥B1N

∴B1N⊥面AMN，∴B1N⊥AM

∵A1B1⊥A1C1，且A1B1⊥AA1，∴A1B1⊥面ACC1A1

∴A1B1⊥AM

∴有AM⊥面A1B1N，且NP属于面A1B1N

∴有AM⊥NP。

2）要想使得PN与平面ABC的角度最大，那么其正切值应该最大。

而正切值所对应的直角三角形为，过P点做垂线PL垂直AB，L在AB上，然后连接NL

即其正切值=PL/NL

其中PL值一定，为1，所以NL求最小值可使得正切值最大，

则要求NL垂直于AB，即过N做NL平行与BC，此时NL=BC/2=0.5

而PL=1

所以其最大正切值为2

3）P的极限位置为A1或B1，P在B1位置是，题目要求的二面角为90°，所以P在A1时二面角最小。

由于此时A1N垂直AB，所以∠A1NA为两个面的二面角，此时AN=根号2/2，AA1=1

所以tan∠A1NA=根号2>根号3/3=tan30°

所以PMN与ABC的二面角不可能为30°，只能≥arctan根号2

Answer 2

(1)要使AM垂直PN,少个条件 角BAC=90° 假设 角BAC=90°成立 则如下证明
作辅助线连接AC中点O和N,连接B1N
因 NO平行 BA 平行B1A1, 而B1A1垂直平面AA1C1C
则 平面NOA1B1垂直平面AA1C1C
不难证明AM垂直A1O
则AM垂直平面A1B1NO,
所以 第一题成立s
(2)
作辅助线NT 垂直于线段AB,做直线TT1垂直于线段A1B1
则角TNT1为PN于平面ABC所成最大角 tan(TNT1)=2
(3)
还没考虑好