Question

已知一元二次方程x2-4x+3=0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0）

B（0，n）
（1）求抛物线的解析式．
（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？
（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵x²-4x+3=0的两根是m、n

∴解出x²-4x+3=0   

（x-1）（x-3）=0

则m=1，n=3

∴得出A（1，0），B（0，3）

∵点A、B经过抛物线y=-x²+bx+c

∴将点A、B带入抛物线y=-x²+bx+c中

得  -1-b+c=0             

  c=3

解得b=2           c=3

∴抛物线为y=-x²+2x+3

（2）连接BC

∵c为抛物线y=-x²+2x+3与x轴的另一个交点

∴设抛物线y=-x²+2x+3中，y=0

则   -x²+2x+3=0

解得 x₁=1  ， x₂=-3

∴点C为（-3，0）

由图象知，

当-3<x<0时，抛物线y=-x²+2x+3在BC上方

Answer 2

x2-4x+3=0,x1=1,x2=3,m=1
则有y=-x2+bx+c的图象经过点A（1，0）,B（0，3）解得b=-2,c=3
y=-x^2-2x+3
c点坐标(-3,0)，x介于（-3,0）
设p点坐标(p,0),则e点坐标为(p,3-p^2-2p),又cb的方程为y=x+3
直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，则bc与pe的交点为pe的中点，则有
3+p=(3-p^2-2p)/2,且p介于(-3,0)解得p=-1
p点坐标为(-1,0)

Answer 3

(1)x2-4x+3=0可以化为（x-1）（x-3）=0，所以两根为1和3，而m＜n，所以m=1,n-3所以A（1，0），B（0,3），带入抛物线，可得抛物线方程为y=-x2-2x+3
(2)图像你就自己画一下，解抛物线方程就能得到-（x-1）(x+3)=0,得X=-3所以-3<x<1的时候，
抛物线的图象在直线BC的上方。
(3)因为，BC将三角形PEC的面积划分为相等的两部分，所以，BC过PE中点，设P坐标为（a,0)(-3<a<0)则E点坐标为（a,-a2-2a+3)，所以PE中点为M（a,(-a2-2a+3)/2）由B，C两点坐标可得BC直线方程为y=x+3,M在BC直线上，带入方程得，(-a2-2a+3)/2=a+3，所以-a2-4a-3=0所以（a+1)(a+3)=0,又-3<x<0,所以a=-1,所以，P（-1，0）