Question

求极限lim （sinx/x）^(1/1-cosx)，x趋向于0

答案是e的负三分之一次
为什么不能用等价代换公式得sinx/x=1？然后极限就等于1？

Answer 1

因为sinx/x 只是取x趋向于0时的极限值为1，而指数的极限是∞。极限1的∞次方是不定式。

lim （sinx/x）^(1/1-cosx)
=e^ lim (1/1-cosx)·ln(sinx/x)
=e^ lim ( 1/(x²/2) )·ln(1+ sinx/x -1)【等价代换：1-cosx～x²/2】
=e^ lim ( 2/x² )·(sinx/x - 1)【等价代换：u→0时ln(1+u)～u】
=e^ 2lim ( (sinx - x) / x³ )
=e^ 2lim ( (cosx - 1) / (3x²) )【洛比达法则】
=e^ 2lim ( (-x²/2) / (3x²) )【等价代换：1-cosx～x²/2】
=e^(-1/3)