Question

已知函数f (x)＝lg(ax2＋2x＋1) ． (1)若函数f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若函数f (x)的

值域为R，求实数a的取值范围．特问（1）与（2）的区别是什么！！！！！！

Answer 1

一楼的第2问分析是错的。
分析：（1）一个定义域是R，即X可取R上任意值，必须要ax²＋2x＋1>0对于一切x∈R恒成立，故a>0，且Δ<0；
（2）一个值域为R，即函数值f(x)可以取到R上任意值，
设t=ax²＋2x＋1，则y=lgt值域为R，由y=lgt值域为R，定义域为（0，+∞），
也就是说要使lgt取到R上任意值，t要取到（0，+∞）的所有值，故t=ax²＋2x＋1图象开口向上，而且要与x轴有交点，这样才能保证t取到（0，+∞）的所有值，
故a>0，且Δ≥0
解：（1）由函数f (x)的定义域为R，故X可取R上任意值，
必须要ax²＋2x＋1>0对于一切x∈R恒成立，
当a=0时，ax²＋2x＋1=2x＋1>0对于一切x∈R不能恒成立，
当a≠0时，则a>0，且Δ=4-4a<0，故a>1；
（2）由f (x)的值域为R，即函数值f(x)可以取到R上任意值，
设t=ax²＋2x＋1，则y=lgt值域为R，由y=lgt值域为R，定义域为（0，+∞），
也就是说要使lgt取到R上任意值，t要取到（0，+∞）的所有值，
当a=0时，t=ax²＋2x＋1=2x＋1能取到（0，+∞）的所有值，
当a≠0时，
则t=ax²＋2x＋1图象开口向上，而且要与x轴有交点，这样才能保证t取到（0，+∞）的所有值，故a>0，且Δ=4-4a≥0，故0<a≤1。

Answer 2

一个定义域是R，即X可取R上任意值，一个值域为R，即函数值f(x)可以取到R上任意值，区别很大。在这题目里边，要使x取R，必须要ax2＋2x＋1>0对于一切x∈R恒成立；而要使f(x)取到R，只需ax2＋2x＋1>0，即只要使函数有意义即可，不管x取值在哪个范围，相对于第一问，这个条件要弱得多。