Question

已知f(x)为二次函数，且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2，求f(x)

Answer 1

由题可设f(x)=ax平方+bx+3
又由f(x+2)-f(x)=4x+2可知f(2)-f(0)=4*0+2=2 (在此用到赋值法)
所以f(2)=5
同理有f(0)-f(-2)=4*(-2)+2=-6 所以f(-2)=9
则有5=4a+2b+3
9=4a-2b+3
解得a=1,b=-1
所以f(x)=x平方-x+3

===========================================================================设二次函数f(x)=ax²+bx+c
代入f(0)=3,c=3
因此f(x)=ax²+bx+3
f(x+2)-f(x)
=a(x+2)²+b(x+2)+3-(ax²+bx+3)
=ax²+4ax+4a+bx+2b+3-ax²-bx-3
=4ax+4a+2b
=4x+2
4a=4,a=1
4a+2b=2,b=-1
f(x)=x²-x+3

追问

4a=4怎么出来的？b去哪里了？

追答

=4ax+4a+2b
=4x+2
上下二式对应相等,故有:
4a=4,a=1
4a+2b=2,b=-1

追问

为什么要这样对应呢？

追答

对应系数相等,才能解出a,b

追问

以后解别的题也可以使用这种方法吗？

Answer 2

不妨设f(x)=ax²+bx+c，由f(0)=3知c=3；
f(x+2)=a(x+2)²+b(x+2)+3=ax²+(2a+b)x+4a+2b+3
f(x+2)-f(x)=2ax+4a+2b=4x+2,
解出a=2，b=-3，c=3；

Answer 3

f(0)=3
f(2)=5
f(-2)=9
c=3
4a+2b+c=5
4a-2b+c=9
即
a=1
b=-1
c=3