Question

数列递推公式求通项公式的问题

RT。上例题。a(n+1)=5an+4/2an+7。a1=2。 就是这种两项之间次数不同的题目，请详细的告诉我方法。过程倒不是那么重要。谢谢各位牛人了！
额。。不好意思。。是a(n+1)=(5an+4)/(2an+7)

Answer 1

形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
简单地说就是在递推中令an=x 代入 a(n+1)也等于x 然后构造数列.
（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）
令x=(ax+b)/(cx+d)
即 cx2+(d-a)x-b=0 令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p 其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
若x1≠x2
则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2) 其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

【注】形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。
让a(n+1)=an=x，
代入化为关于x的二次方程
(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出
(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出 若无解，就只有再找其他方法了。
并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。

例1：在数列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通项
【解】a(n+1)=(2an+8)/an，
a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=x
x=2+8/x x^2-2x-8=0
x1=-2,x2=4
{(an-4)/(an+2)}为等比数列
令(an-4)/(an+2)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)]
=-1/2 b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2)
an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1

例2：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，
【解】特征方程为：y²= 5y-6
那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3
于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An] (1)
A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An] (2)
所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)
A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)
消元消去A（n+1），就是An,An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.

Answer 2

求数列的通项公式 (最后答案为An=根号n-根号n-1),请求过程 1/An-过程写的有点粗糙，请自己整理，详细化

Answer 3

a(n+1)=5an+4/（2an+7） or

a(n+1)=（5an+4）/（2an+7）

Answer 4

。