Question

:x趋于0时,sinx-arctanx求极限，，使用泰勒公式。谢谢了

Answer 1

先使用泰勒公式得到：
sinx=x- x^3 /3!+ x^5 /5! - x^7 /7! + x^9 /9! …
arctan x = x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 - x^9 / 9 ...
故
sinx - arctan x
= (x- x^3 /3!+ x^5 /5! - x^7 /7! + x^9 /9! …) - (x - x^3 / 3 + x^5 / 5 - x^7 / 7 - x^9 / 9 ... )
=(x^3 / 3 - x^3 /3!) - ( x^5 /5 -x^5 / 5!) + (x^7 /7 -x^7 / 7!) - (x^9 /9 -x^9 / 9!)……
实际上在这里已经不需要再进行计算了，
很显然x趋于0时，x^3 / 3 、x^3 /3! 、 x^5 /5 、x^5 / 5!等等这些项都是趋于0的，

故x趋于0时
sinx-arctanx的极限值为0

实际上在x趋于0时，sinx和arctanx是等价无穷小，显然sinx-arctanx的极限值为0

Answer 2

sin和arsin都用泰勒公式展开到o(x^3)应该可以算出,展开公式看书

追问

arctanx，，不是arcsin。