Question

已知函数f（x）=e^x-x(e为自然对数的底数) （2）设不等式f（x）>ax=的解集为P，且

已知函数f（x）=e^x-x(e为自然对数的底数)

（2）设不等式f（x）>ax=的解集为P，且{x│0≤x ≤2}包含于P,求实数a的取值范围

我看过第二问的解法，没看懂。
解法上说，把f（x）解析式代入不等式，先验证x=0时，不等 式显然成立，只需考虑x∈（0，2]的情况。可是x从0到2不是都满足这个不等式吗？为什么还要这样解？
后来a的取值范围又为什么是那个？a若比e-1会如何？

Answer 1

解析：∵函数f(x)=e^x-x，不等式f(x)>ax的解集为P，且{x│0≤x ≤2}包含于P
∴e^x-x>ax==> e^x-x(1+a)>0的解集为P
∵{x│0≤x ≤2}包含于P
即，{x│0≤x ≤2}是P的一个真子集，换句话说，{x│0≤x ≤2}是不等式f(x)>ax解集的一部分
将x=0代入不等式e^0-0*(1+a)=1>0，∴x=0是不等式的一个解
e^x-x(1+a)>0==> e^x>x(1+a)
两边取对数x>lnx+ln(1+a)
∴a<e^(x-lnx)-1
令h(x)= e^(x-lnx)-1 (x>0)
令h’(x)= e^(x-lnx)*(1-1/x)=0==>x=1
h’’(x)= e^(x-lnx)*(1-1/x)^2+ e^(x-lnx)*(1/x^2)==> h’’(1)=e>0
∴函数h(x)在x=1处取极小值h(1)=e-1
∴实数a的取值范围为a<e-1

解本题需要正确理解题意：即a的取值必须满足使集合{x│0≤x ≤2}成为不等式f(x)>ax的解集为P的真子集
∵在后面求a的过程中，要进行对数运算，而x=0是不包括在对数函数定义域内，所以要单独的验证x=0是否满足不等式。
当a>=e-1时，在解集中就存在e^x-x>=ax的部分，这样就不合题意要求了。

Answer 2

你好：
我的做法是：
就是研究e^x-（a+1）x这个函数大于0的区间问题
首先你对这个函数求导得到e^x-（a+1），你会发现当a小于等于-1的时候显然导函数恒大于0，也就是说e^x-（a+1）x为递增函数，所以此时e^x-（a+1）x这个函数大于0没有问题
当a大于-1的时候，x=ln（a+1）时，此时函数有一个极小值，此时当a小于等于0的时候显然依旧满足。
当a大于0的时候要讨论：当极小值的区间取到大于0小于等于2之间的话，就是a小于等于e^2-1的时候，此时a必须小于e-1（把x=ln（a+1）代入函数，此时函数必须大于0）
当ln（a+1）大于2的时候，此时必有f（2）大于0，此时a小于0.5e^2-1（此时显然不成立）
综上所述a的范围就是a小于e-1

Answer 3

给你推荐一种方法 用数形结合的方法做 把不等式化简为e^x >（a+1）x 结果应该为{a/a<e^2-1} 应该是显而易见的，有不对的地方还请斧正，谢谢，我只能帮到这了