Question

求函数y=根号x+根号下3-x的值域。

Answer 1

解：
算术平方根有意义，x≥0 3-x≥0 x≤3
0≤x≤3
令x=3sin²a，则
y=√(3sin²a)+√(3-3sin²a)
=√3(√sin²a+√cos²a)
=√3(|sina|+|cosa|)
(|sina|+|cosa|)²=sin²a+cos²a+2|sinacosa|=1+|sin(2a)|
当|sin(2a)|=1时，(|sina|+|cosa|)²有最大值2；此时|sina|+|cosa|有最大值√2，y有最大值√6；
当|sin(2a)|=0时，(|sina|+|cosa|)²有最小值1；此时|sina|+|cosa|有最小值1，y有最小值√3。
函数的值域为[√3，√6]。

Answer 2

设u=√x、v=√(3-x)

u^2=x、v^2=3-x

u>=0、v>=0、u^2+v^2=3

在平面uOv中，u>=0、v>=0、u^2+v^2=3表示的是以原点为圆心、√3为半径的圆在一象限的部分。

求目标函数y=u+v的取值范围。

用线性规划的方法可求得：√3<=u+v<=√6。

所以，函数y=√x+√(3-x)的值域是[√3,√6]。

.

Answer 3

[0,3]