Question

在数列{an}中a1=1,an=2(an-1-1)+n （1）求a2,a3的值 （2）证明{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式

（3）求数列{an}的前n项和sn

Answer 1

由题an=2an-1-2
∴an+n=2(an-1-1)+n+n=2[an-1+(n-1)]
∴（an+n）/[an-1+(n-1)]=2
∴{an+n}是等比数列
∴an+n=（1+1）2^(n-1)=2^n
∴an=2^n -n(n≧2)
∴an=2^n -n(n∈正整数)
sn用分组求和，
sn=（2+2^2+2^3+。。。+2^n)-(1+2+...+n)=2^n-1-(n^2+n)/2

Answer 2

1)a2=2 a3=5
2）配项后有 An+n=2[An-1+(n-1)] 所以{an+n} 是以2为首项 2为公比的等比数列

An+n=2^n 即An=2^n-n
3）sn可以分成等比和等差来求和 sn=[2^(n+1)-2]-[n(n+1)/2]

追问

求sn具体的过程

追答

2^n 是等比数列 s1=a1(1-q^n)/(1-q)=2(1-2^n)/(1-2)=2^(n+1)-2

n是等差数列s2=(a1+an)n/2=n(n+1)/2

所以sn=s1+s2=[2^(n+1)-2]-[n(n+1)/2]

Answer 3

①略
②由题知an+n=2(an-1-1)+n+n=2[an-1+(n-1)]
故（an+n）/[an-1+(n-1)]=2
故{an+n}是公比为2的等比数列
故an+n=（1+1）2^(n-1)=2^n
故an=2^n -n(n≧2)
又a1=2^1-1=1
故an=2^n -n(n≧1)

追问

sn怎么求

Answer 4

追问

求sn怎么求

追答

Answer 5

请问一下你的an=2(an-1-1)+n里的an-1是a(n-1)还是就是an-1？？