Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．（1）证明{an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）求数列{an}

已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．（1）证明{an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）在a_n+1=3a_n+1中两边加

1

2

：an+

1

2

＝3(an?1+

1

2

)，…2分
可见数列{an+

1

2

}是以3为公比，以a1+

1

2

＝

3

2

为首项的等比数列．…4分
故an＝

3

2

×3n?1?

1

2

＝

3n?1

2

．…6分
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

31?1

2

+

32?1

2

+…+

3n?1

2

=

1

2

（3+3²+…+3ⁿ）-

1

2

?n
=

1

2

?

3(1?3n)

1?3

-

n

2

=

3n+1?2n?3

4

…12分