Question

已知函数f（x）=x²+a/x（x≠0），（常数a∈R）

（1）若函数f（x）为偶函数，求a。
（2）当常数a≤16时，求证：函数f（x）在[2，+∞）上单调递增。

Answer 1

f(x)是偶函数,则有f(-x)=(-x)^2+a/(-x)=f(x)=x^2+a/x

2a/x=0
a=0
(2)设2≤x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=（x1^2+a/x1)--(x2^2+a/x2）
=(x1+x2)(x1-x2)+a(x2-x1)/x1x2
=(x2-x1)[a/(x1x2)-(x1+x2]
x1x2>4
a<=16,故有a/x1x2<=4
又x1+x2>4
故a/(x1x2)-(x1+x2)<0
x2-x1>0
所以有f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)

所以,函数f（x）在[2，+∞）上单调递增。

Answer 2

（1）f（-x）=f(x)
a=0
（2）对f（x）求导
得2x-a/x²
寻找极值点 令2x-a/x²=0 x不等于0 可以乘过去
找出极值点为：x0=（a/2）开3次方
发现极值点左边导数小于0，单调递减。右边大于0单调增加
当a=16时，极值点为2。函数在2到正无穷上为单调递增函数
当小于16时，极值点往左移，所以函数在2到正无穷上依然为单调增加
所以，结论

Answer 3

函数为偶函数f(-x)=f(x) 代进去。则A=0
单调性求函数的导数，=2x-a/x的平方 单调递增，导数》=0