Question

在△ABC中,三个内角A、B、C及其对应边a、b、c满足sin(C-B)/sin(C+B)=(b+a)/a。

(1)求角C的大小 （2）c=6，求△ABC的面积的最大值

Answer 1

思路：A+B+C=π,正弦定理
1、
sin(C+B)=sin(π-A)=sinA
sin(C-B)/sin(C+B) -1 =[-2cosCsinB]/sin(C+B)=-2cosCsinB/sinA =(b+a)/a -1=b/a
由正弦定理可知b/sinB=a/sinA,所以sinB/sinA=b/a,
从而有cosC=-1/2
解得C=2π/3
2、
由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=c/sinC=6/(√3/2) =4√3
所以a=4√3sinA,b=4√3sinB
S=(absinC)/2=(4√3sinA *4√3sinB * √3/2)/2
=12√3sinAsinB
=6√3[cos(A-B) - cos(A+B)]
=6√3[cos(A-B)-1/2]
因为A+B=π/3，A,B为三角形内角，所以-π/3<A-B<π/3
从而当A-B=0.即A=B=π/6，时，cos(A-B)取最大值1，此时面积最大，
最大面积=6√3[1-1/2]=3√3

Answer 2

1.
由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC得
sin(C-B)/sin(C+B)=(sinB+sinA)/sinA
因为sin(C+B)=sin(π-A)=sinA
所以sin(C-B)=sinB+sinA
而sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)
所以sin(C-B)=sinB+sin(B+C)
sinCcosB-sinBcosC=sinB+sinCcosB+sinBcosC
sinB*(1+2cosC)=0
因为sinB>0
所以cosC=-1/2,即角C为120度
2.
由余弦定理-1/2=cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
整理得：a^2+b^2+ab=36
而a^2+b^2>=2ab
所以36=a^2+b^2+ab>=2ab+ab=3ab
即ab<=12
所以S三角形=1/2*ab*sinC
<=1/2*12*√3/2
=3√3
当a=b=2√3时成立
所以△ABC的面积的最大值是3√3