Question

已知椭圆方程3x平方+4y平方=12，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同点关于直线y=4x+m 对称

一种解法是设出对称的两点及其所在直线的方程，由中点既在直线y=4x+m上，又在两点所在直线上，解出交点坐标的表达式，由中点必在两点之间建立不等式来求解。问中点必在两点之间与m的取值范围有何关系？

Answer 1

如果有这样的两点那么，两点的中点一定在椭圆内部，只要满足这个条件就行了。
设交点是A（x1,y1)B(x2,y2)中点坐标是（x中，y中）AB直线方程设为y=-1/4x+b
x1^2/4+y1^2/3=1①
x2^2/4+y2^2/3=1②
y1=-1/4x1+b③
y2=-1/4x2+b④
①-②，得
(x1-x2)(x1+x2)/4+（y1-y2)(y1+y2)/3=0
③-④，得
y1-y2=-1/4(x1-x2)把y1-y2整体代入上式，提取公因式（x1-x2)得
（x1-x2)（2x中/4+-1/4*2y中/3)=0
由于x1不等于x2,所以，
1/2 x中-1/6y中=0
又 y中=4x中+m
解得 x中=-m y中=-3m
x中^2/4 +y中^2/3<1
m^2<4/13
所以， -2√13/13<m<2√13/13

追问

问中点必在两点之间与m的取值范围有何关系，不是问中点一定在椭圆内部与m的取值范围有何关系。

Answer 2

http://gzsx.cooco.net.cn/testdetail/202944/

里面有三种解法