Question

如图,在△ABC中,AD是BC边上的中点,E是AD的中点，BE的延长线交AC于F。求证BE=3EF

最好用梅涅劳斯定理

Answer 1

直线BEF截三角形ADC,由梅捏劳斯定理:CB/BD*DE/EA*AF/FC=1
且CB=2BD, DE=EA
所以AF/FC=1/2

直线AED截三角形BCF，由梅捏劳斯定理：CA/AF*FE/EB*BD/DC=1
且CA=3AF（由AF/FC=1/2），BD=DC
所以FE/EB=1/3
即BE=3EF

Answer 2

用梅涅劳斯定理来证，
△ACD被直线BEF所截，B,E,F是分点，
由梅涅劳斯定理，得，
(AE/ED)*(DB/BC)*(CF/FA)=1,
因为AE=ED,BC=2BD,
所以CF/FA=2
同理，
△BCF被直线ADE所截，A,D,E是分点，
由梅涅劳斯定理，得，
(DB/BC)*(CF/AF)*(FE/EB)=1,
即（1/2）*2(FE/EB)=1,
所以FE/EB=4,
所以BE=3EF
提示：两次运用定理

Answer 3

取CF中点G,连接DG,
DG为三角形CBF中位线,
DG//BF,BF=2DG
AE=ED
AF=FE,EF为三角形ADG中位线,
DG=2EF
BF=4EF
BE=3EF
用梅涅劳斯定理
EA/AD*DC/CB*BF/FE=1
EA/AD=DC/CB=1/2
BF/FE=4
BF=4EF
BE=3EF
用梅涅劳斯定理解题找三角形的方法:
已知条件中线段和要证明或求的相关的线段所在的直线(本人通常称之为相关直线)所围成的三角形(本人称之为梅氏三角形)