Question

求证:1/2²+1/3²+1/4²+……+1/2011²<2010/2011

急急急，拜托各位大神帮帮忙 给高分啊
真的很着急啊，谢谢各位数学好的童鞋们

Answer 1

先证明：1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(n-1)/n n>=2
第一步，当n=2时，左边=1/2^2=1/4<1/2=右边，成立
第二步，假设n=k时，不等式成立
第三步，当n=k+1时，左边=1/2^2+1/3^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2
<(k-1)/k+1/(k+1)^2
=[(k-1)(k^2+2k+1)+k]/k(k+1)^2
=(k^3+k^2-1)/(k^2+k)(k+1)
=[k-1/(k^2+k)]/(k+1)

<k/(k+1)=右边
所以1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<(n-1)/n
当n=2011时，1/2^2+1/3^2+...+1/2011^2<2010/2011

Answer 2

1/2²+1/3²+1/4²+……+1/2011²<(1-1/2)+(1/2 *1/3)+(1/3 *1/4)+....+(1/2010 * 1/2011)
=1- 1/2 +1/2 -1/3 +1/3 -1/4+....+1/2010 - 1/2011
=1-1/2011
=2010/2011

Answer 3

当n≥2时，1/n²＞1/n（n-1），1/n（n-1）＝1/（n-1）－1/n，可以了，

Answer 4

一楼正确 ！