Question

求助：．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_____

Answer 1

解：利用三角形的内外角之间的关系可得：

∠PCD=∠PCA=∠BPC+∠PBC=40°+1/2∠B.

∠ACD=2∠PCD=80°+∠B=∠A+∠B，所以∠A=80°.

因P到AB的距离=P到BD的距离=P到AC的距离，

所以P即为三角形ABC的旁心，则PA即角A的外角平分线，

 

所以∠PAC=（180°-80°）/2=50°.

Answer 2

∠PCD=∠PBC+∠BPC=∠PBC+40°；(1)
PB平分∠ABC，得∠PBC=∠ABC/2;
PC平分∠ACD, 得∠PCD=∠ACD/2; 代入（1）得
∠ACD-∠ABC=80°；
在△ABC中，∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°; (∠ACD是外角);（2）
过P点作BC、AC、BA的垂线分别交于D、E、F；
由PB平分∠ABC，得PD=PF；
由PC平分∠ACD，得PE=PD；
推得PE=PF，所以PA平分∠CAE；（点到角两边的距离相等，则它与角顶点的连线是角平分线）
即∠CAP=∠CAE/2; (3)
又∠CAE是△ABC的外角，有∠CAE=180-∠BAC；代入（2）得
∠CAE=100°, 代入（3)得：
∠CAP=50°

Answer 3

50°