Question

已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+3x2^2+3x3^2+4x2x3

已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+3x2^2+3x3^2+4x2x3
（1） 求二次型的秩；
（2） 用正交变换将其化成标准形；

Answer 1

解: 二次型的矩阵 A =3 0 00 1 a0 a 1由已知 r(A)=2, 所以 |A|=0而 |A|=3(1-a^2), a<0所以 a = -1.所以 A=3 0 00 1 -10 -1 1|A-λE|= (3-λ)[(1-λ)^2-1] = -λ(2-λ)(3-λ).所以A的特征值为2,3,0.(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T.(A-3E)X=0 的基础解系为 a2=(0,1,-1)^T.AX=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)^T.单位化得b1=(1,0,0)^T.b2=(0,1/√2,-1/√2)^T.b3=(0,1/√2,1/√2)^T.令P=(b1,b2,b3), 则 X=PY 是正交变换且 f=2y1^2+3y2^2.[老师讲的]

Answer 2