Question

已知椭圆x^2/16+y^2/7=1及点M(2,1),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,A是椭圆上的动点则

已知椭圆x2/16+y2/7=1点M(2,1),F1,F2分别是椭圆的左右焦,点A是椭圆上的动点则|AM|+|AF2|的最大值

Answer 1

椭圆x²/16+y²/7=1

c²=a²-b²=16-7=9

∴c=3

F1(-3,0),F2(3,0)

根据椭圆定义

|AF1|+|AF2|=2a=8

在ΔAMF1中，|AF1|<|AM|+|MF1|

 A,M,F1三点共线时，|AF1|=|AM|+|MF1|

∴|AF1|≤|AM|+|MF1|

两边同时上|AF2|

|AF1|+|AF2|≤|AF2|+|AM|+|MF1|

∴|AF2|+|AM|+|MF1|≥8

∴|AM|+|AF2|≤8-|MF1|=8-√[(2+3)²+1]=8-√26

∴|AM|+|AF2|的最小值是8-√26 

 

A到A0时，∴|AM|+|AF2|取得最小值 

 

∵|A0M|+|A0F2|+|A1M|+|A1F2|=4a定值

将A0F1延长与椭圆相交于A1,得最大值点，

|AM|+|AF2|的最大值为4a-(8-√26)=8+√26