Question

求三角形内部PA,PB,PC相加的最小值

三角形ABC中，角ACB等于30度，BC=6,AC=5，在三角形ABC内部有一点P，连接PA,PB,PC，求PA,PB,PC相加的最小值

Answer 1

 http://baike.baidu.com/view/184329.htm   （参考资料）

P点在费马点时PA+PB+PC的值最小。

以三角形三边向外做等边三角形ACE,ABF,BCD,连接AD,BE,CF,三线的交点P即为费马点。

P点在费马点时，PA+PB+PC=AD=BE=CF.

∠ECB=∠ECA+∠ACB=60+30=90.

EB^2=CE^2+CB^2=AC^2+CB^2=5^2+6^=61

EB=√61

故PA+PB+PC的最小值为√61

Answer 2

根据三角形定理：两条边长的和大于等于第三条边：
在三角形ABP中：PA+PB>=AB;
在三角形BPC中 PB+PC>=BC;
在三角形ACP中 PA+PC》=AC
上面三个式子相加得出：2（PA+PB+PC）>=AB+BC+AC
即：PA+PB+PC>=(AB +BC+AC)/2 （1）
根据三角形余弦定理 在三角形ABC中：COS角ACb=（AC的平方+BC的平方-AB的平方）/(2*BC*AC)
COS30=（5^2+6^2-AB^2)/(2*5*6) 可求得AB约=3
带入（1）式 PA+PB+PC》=7，即最小值为7