Question

高数题 求微分方程通解.y''-3y'+2y=e^x(1+e^2x)

如题.y''是二阶导的意思..符号打不出来了.给个详解过程吧

Answer 1

特征方程r²-3r+2=0
得r=1, 2
齐次方程通解y1=C1e^x+C2e^2x
方程右边为e^x+e^3x
设特解为y*=axe^x+be^3x
则y*'=a(1+x)e^x+3be^3x
y*"=a(2+x)e^x+9be^3x
代入原方程： a(2+x)e^x+9be^3x-3a(1+x)e^x-9be^3x+2axe^x+2be^3x=e^x+e^3x
-ae^x+2be^3x=e^x+e^3x
对比系数：-a=1, 2b=1
得a=-1, b=0.5
所以原方程的解为y=y1+y*=C1e^x+C2e^2x-xe^x+0.5e^3x

追问

麻烦你写一下这种类型的题的常用解题手法...要用到什么？谢谢

追答

特征方程法。

主要是写出正确的特解的形式。

追问

方程右边为e^x+e^3x
设特解为y*=axe^x+be^3x
你帮看看这两部..y星等式右边应该是一个什么形式的一个式子..怎么得到？

追答

因为通项为e^x, e^2x
所以右边的e^x项是同特征根的，它的特解需要多乘以一个x项，即axe^x
而e^3x项不同特征根，特解只需同次即可，即be^3x.
两者合在一起即是特解y*

追问

啥意思~~特征根不就是1和2吗？还有这道题能用常数变易法吗？

追答

1，2对应的就是e^x,e^2x
所以e^3x不是特征项